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怎么和最喜欢的人在一起?

Posted at — Dec 09, 2019

找不到对的人不是你丑,是大自然限制了你

你一生中会遇到很多的人,那么如何用最少的交往次数,找到最好的那个和他在一起呢?当然你说你就要全部试一遍,那我也阻止不了你。

首先,你可以先试着和几个人在一起(滑稽),一段时间后,不管他们有多好,都甩了他们。然后接下来遇到的人,只要比前面被你甩的任何一个人好,就和他一起私奔。好了现在来把问题公式化一下(哎~别走呀,听我说完嘛)

假设有 n 个人,你要放弃前 k 个,从第 k+1 个开始,遇到比前 k 个好的就和他在一起,求 k 为多少使得最好的人被你选中的概率最大。

我们设

事件 $A$ 为:最好的人被你选中

事件 $B_i$ 为:第 i 个人是最好的

我们有全概率公式 $$ P(A)=\sum_{i=k+1}^{n}{P(B_i)P(A|B_i)} $$

其中,这 n 个人是均匀分布的,$P(B_i)$ 就为 $\frac{1}{n}$,所以只要求出 $P(A|B_i)$,就能算出最好的人被你选到的概率 $P(A)$ ,然后再使 $P(A)$ 的导数等于零,就能解出 k 了。

而 $P(A|B_i)$ 表示在第 i 个人是最好的那个人而这个人恰好被你选到的概率。那第 i-1 个就没有前 k 个好,而第 i-1 个没有前 k 个好的概率为 $\frac{k}{i-1}$,所以

$$ P(A)=\frac{1}{n}\sum_{i=k+1}^{n}{\frac{k}{i-1}}=\frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n-1}{\frac{1}{i}} $$

假设 n 很大很大,也就是你会遇到很多很多的人,我们令 $x=\frac{k}{n}, f(t)=\frac{1}{t}$,上式可以转换为定积分

求 $P(A)$ 极值,令

$$ \frac{dP(A)}{dx}=\frac{d(-xlnx)}{dx}=1-lnx=0 $$

得到 $x=\frac{1}{e}$ ,所以 $k=\frac{n}{e} $

可以看一下是否是极大值,令

$$ \frac{d^2P(A)}{dx^2}=-\frac{n}{k} $$

得到 $k=\frac{n}{e}$,此时 $P(A)$ 取到极大值

$$ P(A)_{x=\frac{1}{e}}=\frac{1}{e}\approx0.36787944117144… $$

也就是说你最多也只有大概37%的概率选中最好的那个人,就算你能遇到1千个人或1万个人,在你甩完前367个或前3678个人后,选中最好的人的概率也不会高于 $\frac{1}{e}$ ,所以说,「大自然」已经限制了你追求到完美的幸福了,凑合着过吧。

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