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卷纸理论

Posted at — Jan 13, 2019

大概是高二的时候,某天突然萌生出个想法,就是卷纸是如何变少的,即想知道卷纸半径的变化率。然而当时我不知道怎么解决,这个问题就一直留恋到现在。

假装分析

不妨将卷纸考虑成刚性卷纸,即纸张是不发生径向形变的理想纸张,且每层完全贴合。则卷纸缠绕方式如图:

roll.jpg

其中,$r_0$ 为纸筒的半径,$\epsilon$ 为每张纸的厚度。从第一象限开卷并终止于第四象限。过起点做纸筒的切线,将切点与纸筒中心相连得直线 $L_1$,$L_1$ 与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ 再过起点做 $L_1$ 的平行线 $L_2$。于是第四象限被直线 $L_1$ 和 $L_2$ 分成三个区域 $A_1$, $A_2$, $A_3$。

因为纸是不发生径向形变的理想纸,所以 $A_1$, $A_3$ 区域里每层纸构成同心圆弧,区域 $A_2$ 的纸不发生弯曲且长度为 $d$。显然,每一圈纸卷了 $2\pi$ 弧度和 $d$ 长度后与下一圈连接。于是有:

$$ \theta=arccos\frac{r_0}{r_0+\epsilon} \tag{1} $$

$$ d=r_0tan\theta \tag{2} $$

考虑 $r_0»\epsilon$,即纸筒半径远大于纸张厚度的情况下有

$$ \theta\approx arccos\frac{r_0}{r_0}=0 $$

进而有 $d\approx0$,即可以忽略掉区域 $A_2$。所以每圈纸实际上可以看成是同心圆,进而可以很简单地求出卷纸的总长,即同心圆地周长之和。再通过总长对时间的导数就能得出卷纸半径的变化率了。

卷纸总长

考虑到纸的厚度,第 $k$ 圈的平均半径为:

$$ \bar{r}_k = r_0+(k-\frac{1}{2})\epsilon\tag{3} $$

所以卷纸总长为:

$$ \begin{aligned} L&=\sum_{k=1}^{n}{2\pi\bar{r}_k} \cr &=2\pi \Big( nr_0+\epsilon\sum_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{2}}\Big) \cr &=2\pi\Big(nr_0+\frac{n^2}{2}\Big) \end{aligned} $$

设卷纸半径为 $r$,则有:

$$ n=\frac{r-r_0}{\epsilon}\tag{4} $$

所以卷纸总长为:

$$ L=\frac{\pi}{\epsilon}(r^2-r_0^2)\tag{5} $$

半径变化率

将 (5) 式两边对时间求导得到半径变化率 $\dot{r}$

$$ \dot{r}=\frac{\epsilon}{2\pi r}\dot{L}\tag{6} $$

其中,$\dot{L}$ 为卷纸总长度的变化率,即卷纸被消耗的速率。可以看到卷纸半径的变化率与卷纸长度变化率成正比,与当前卷纸的半径成反比。这和我们的卷纸越用消耗得越快的生活经验是符合的 🐶。而式中的系数 $\frac{\epsilon}{2\pi}$ 表现为卷纸的变化程度。

为纪念该问题的解决,我们不妨将系数 $\frac{\epsilon}{2\pi}$ 称为 XJJ 系数,用希腊字母 $\chi$ 表示,于是得到描述卷纸半径变化率的 XJJ 方程

$$ r\dot{r}=\chi\dot{L} $$

哈哈哈~

最大包围面积

另外,由 (5) 式能得到一些无聊的结果。将 (5) 式等号两边除以 2,得到一坨卷纸能围成的最大的圆的半径 $R$:

$$ R=\frac{L}{2\pi}=\frac{r^2-r_0^2}{2\epsilon}\tag{7} $$

进而得到该卷纸能包围的最大面积 $A$:

$$ A=\frac{\pi}{4\epsilon^2}(r^2-r_0^2) $$

最大可卷圈数

通过联立 (4)(5) 式,得到一总长为 $L$ 厚度为 $\epsilon$ 的纸能在半径为 $r_0$ 的纸筒上卷的最大圈数 N 为:

$$ N=\sqrt{\frac{L}{\pi\epsilon}+\Big(\frac{r_0}{\epsilon}\Big)^2}-\Big(\frac{r_0}{\epsilon}\Big)\tag{8} $$


本文纯属于娱乐,有兴趣的可以拿卷纸试试。不会有人真的要试吧~

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