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万物皆弹簧

Posted at — Feb 03, 2020

你要是上过幼儿园小班呢,应该知道势能是位置的函数,表示为 $V(\textbf{r})$ ,其中 $\textbf{r}$ 是位矢。在一范围内若某个点的势能达到极小值,则称该点为稳态点 $\textbf{r}_s$,即

对势能函数在稳态点使用泰勒展开并忽略 2 阶后的项得到

$$ V(\textbf{r})=V(\textbf{r}_s)+V^{'}(\textbf{r}_s)(\textbf{r}-\textbf{r}_s)+\frac{V^{''}(\textbf{r}_s)}{2!}(\textbf{r}-\textbf{r}_s)^2 $$

然后把稳态点当作零势能参考点,则有

$$ V(\textbf{r}_s)=0 $$

联立这三个式子得到稳态点处势能的低阶近似为

$$ V(\textbf{r})\approx\frac{V^{''}(\textbf{r}_s)}{2!}(\textbf{r}-\textbf{r}_s)^2 $$

这是势能关于位置的二次函数,其中 $V^{''}(\textbf{r}_s)$ 为某个常数 $k$。

到这儿,要是你还有幸上过幼儿园大班的话,应该知道「力」是势能对位置的导数,所以稳态点附近的粒子受到的力为

$$ \textbf{F}(\textbf{r})=-\frac{dV(\textbf{r})}{d\textbf{r}}=-k(\textbf{r}-\textbf{r}_s) $$

其中 $\textbf{r}-\textbf{r}_s$ 表示在稳态点附近的位移变化,用 $\Delta{\textbf{r}}$ 表示吧。

若是一维的情况,上式变为

$$ \textbf{F}(\textbf{x})=-k\Delta{\textbf{x}} $$

这不就是「胡克定律」吗,即弹簧的弹力与其位移变化量成正比。其中的负号表示该力为吸引力。

这告诉我们在稳态点附近的受力情况可以不依赖势能函数的具体形式,只跟位置变化量成正比关系,近似一种弹簧的弹力。

出现在稳态点附近的运动无处不在,小到固体中原子因与附近原子相互作用而产生的震动,大到你这几天躺床上强行被叫起来吃饭时心里产生的扰动,都可以看成是弹力的作用。所以人类的本质其实是弹簧,你越处在使自己舒适的地方,你就越靠近你的稳态点,你受力的低阶近似就越精确,你就越是根弹簧。

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